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1. 引言

对于正整数n，经典调和数的定义为

h n = ∑ k=1 n 1 k . (1.1)

为了方便，约定h 0 =0 。近些年来，调和数恒等式的发现与证明受到研究者的广泛关注，相关恒等式可见[1]-[5]。

经典调和数有多种扩展形式。例如，对正整数n,r ，conway和guy [6]定义了调和数的如下扩展，称为r阶超调和数

h( n,r )= ∑ t=1 n h( t,r−1 ) , (1.2)

其中h( n,0 )= 1 n 。同理，约定当n≤0 或r<0 时，有h( n,r )=0 。

本论文主要研究q-调和数(即调和数的q-模拟)的相关恒等式。恒等式的q-模拟及其组合证明是组合数学的研究热点，它的快速发展对理论物理学，计算机科学的发展起到了重要的推动作用。

定义1 对于正整数n，两种常见的q-调和数定义如下[7]：

h q ( n )= ∑ k=1 n 1 [ k ] , h ˜ q ( n )= ∑ k=1 n q k [ k ] .(1.3)

其中[ k ]= 1− q k 1−q ，同时约定h q ( 0 )= h ˜ q ( 0 )=0 ，注意当q→1 时，[ k ]→k 。

mansour和shattuck [8]给出了如下的q -超调和数。

定义2 对正整数n,r ，r阶q-超调和数定义为

h q ( n,r )= ∑ t=1 n q t h q ( t,r−1 ) , (1.4)

其中h q ( n,0 )= 1 q[ n ] ，h q ( n,1 )= 1 q h ˜ q ( n ).

定义3 q-二项式系数[ n k ] 定义如下：

[ n k ]= ( q;q ) n ( q;q ) k ( q;q ) n−k , (1.5)

其中( a;q ) n =( 1−a )( 1−aq )( 1−a q 2 )⋯( 1−a q n−1 ) ，约定( a;q ) 0 =1 。

注意当k>n 或k<0 时，[ n k ]=0 。

给定一个恒等式，寻找其q-模拟恒等式是十分重要的。例如，对超调和数恒等式：

∑ k=m n−1 ( k m ) h( k,2 )=( n m 1 )h( n,2 )−( n 1 m 2 )( h n 1 − 1 m 2 ),n≥1. (1.6)

有如下q -模拟恒等式[9]

∑ k=m n−1 q k−m [ k m ] h q ( k,2 )=[ n m 1 ] h q ( n,2 )− q m 1 [ n 1 m 2 ]( h q ( n 1,1 )− q m 1 [ m 2 ] ),n≥1. (1.7)

目前，对超几何和式，可采用经典的超几何算法(如gosper算法和zeilberger算法)进行处理。注意到调和数及q-调和数是非超几何项，因此相关和式需采用其他方法。例如，chen，hou和jin [10]将abel引理与gosper算法，zeilberger算法相结合，提出了abel-zeilberger算法并给出了大量调和数相关恒等式的新证明。xu [11]和chu [12]等将abel引理用于研究q-级数相关等式。沿着该思路，本文将abel引理与q -zeilberger算法相结合(称为q-abel-zeilberger算法)来研究含有q-非超几何项的相关和式。特别是，对如下和式的q -模拟，得到了相关q-恒等式。

s( n,m,r )= ∑ k=0 n ( n k ) ( −1 ) k k m h( k,r ). (1.8)

2. 基础知识

引理2.1 (abel引理)对于两个任意的序列{ a k },{ b k } ，有

∑ k=m n−1 ( a k 1 − a k ) b k = ∑ k=m n−1 a k 1 ( b k − b k 1 ) a n b n − a m b m . (2.1)

利用差分算子可将上式改写为

∑ k=m n−1 b k δ a k =− ∑ k=m n−1 a k 1 δ b k a n b n − a m b m . (2.2)

注：δ 是关于k的差分算子。

zeilberger算法用来处理定和问题。给定一个q -超几何项f( n,k ) ，其中f( n,k 1 ) f( n,k ) 都是关于q n , q k 的有理函数，q -zeilberger试着求出多项式a 0 ( q n ),⋯, a d ( q n ) 和有理函数r( q n , q k ) ，使得

a 0 ( q n )f( n,k ) a 1 ( q n )f( n 1,k )⋯ a d ( q n )f( n d,k )=δr( q n , q k )f( n,k ). (2.3)

对该斜递推关系关于k求和，就可得到如下和式的递推关系

s( n )= ∑ k f( n,k ) . (2.4)

有关超几何算法的更多细节，可见参考文献[13]。

对给定和式s( n )= ∑ k f( n,k ) b k ，其中f( n,k ) 和δ b k 均是q-超几何项，q-abel-zeilberger算法的基本步骤如下：

1) 对超几何项f( n,k ) ，利用q -gosper算法或q -zeilberger算法得到其不定和或斜递推关系。

a 0 ( q n )f( n,k ) a 1 ( q n )f( n 1,k ) ⋯ a d ( q n )f( n d,k )=δg( n,k ), (2.5)

其中g( n,k )=r( q n , q k )f( n,k ).

2) 在上述关系式两端同乘b k 并对变量k求和，得到

a 0 ( q n )s( n ) a 1 ( q n )s( n 1 ) ⋯ a d ( q n )s( n d )= ∑ k δg( n,k ) b k . (2.6)

3) 对等式右端利用abel引理可得

a 0 ( q n )s( n ) a 1 ( q n )s( n 1 ) ⋯ a d ( q n )s( n d )=− ∑ k g( n,k 1 )δ b k w( n ) . (2.7)

注意到由于δ b k 为q -超几何项，因此右端和式由q -非超几何和式转化为q -超几何和式。此外，多数情况下，余项w( n )=0 。

4) 令t( n )= ∑ k g( n,k 1 )δ b k ，若可利用q -zeilberger算法找到t( n ) 的闭形式，则可得到s( n ) 满足的递推关系。

3. 主要结论

对如下和式：

∑ k=0 n ( −1 ) k ( n k ) k m h k (p) .

对给定参数( n,m,p ) ，该和式的对应恒等式已被多人发现和证明。本文将上式中广义调和数h k ( p ) ，替换为超调和数h( k,r ) ，研究下列和式的q -模拟恒等式。

∑ k=1 n ( n k ) ( −1 ) k k m h( k,r ).

定理3.1 对于非负整数m，n且n>m 1 ，有

s q ( n,m,2 )= ∑ k=0 n ( −1 ) k q ( k 1 2 )−n( k 1 ) [ n k ][ k m ] h q ( k,2 ) = ( −1 ) m q −( m 1 2 ) n−m−2 ( 1− q m 1 ) [ n−m ]( 1− q n−m−1 ) . (3.1)

证明. 令

f( n,k )= ( −1 ) k q ( k 1 2 )−n( k 1 ) [ n k ][ k m ]. (3.2)

则由q -gosper算法可知

f( n,k )=g( n,k 1 )−g( n,k ), (3.3)

其中

g( n,k )=− q n ( q m − q k ) q k ( q m − q n ) f( n,k ). (3.4)

注意到求和范围等价于从0到∞ ，因此对(3.3)式两边同乘h q ( k,2 ) 并对k从0到∞ 求和，利用abel引理可得(注意其余项为零)

s q ( n,m,2 )= ∑ k=0 n δg( n,k ) h q ( k,2 ) = − ∑ k=0 ∞ g( n,k 1 ) q k h ˜ q ( k 1 ) =−t( n ).(3.5)

令

f 1 ( n,k )=g( n,k 1 ) q k . (3.6)

则由q -gosper算法可知

f 1 ( n,k )= g 1 ( n,k 1 )− g 1 ( n,k ). (3.7)

其中

g 1 ( n,k )=− q n ( q m − q k ) ( q m 1 − q n ) q k f 1 ( n,k ). (3.8)

注意到求和范围等价于从0到∞ 求，因此对(3.7)式两边同乘h ˜ q ( k 1 ) 并对k从0到∞ 求和，进一步利用abel引理可得(注意其余项为零)

t( n )= ∑ k=0 ∞ δ g 1 ( n,k ) h ˜ q ( k 1 ) =− ∑ k=0 ∞ g 1 ( n,k 1 ) ( 1−q ) q k 2 1− q k 2 =−z( n ). (3.9)

设

f 2 ( n,k )= g 1 ( n,k 1 ) ( 1−q ) q k 2 1− q k 2 , (3.10)

由q-zeilberger算法可知

( q m 1 − q n ) f 2 ( n,k )−( q m − q n 1 ) f 2 ( n 1,k )= g 2 ( n,k 1 )− g 2 ( n,k ). (3.11)

其中

g 2 ( n,k )=− q n ( q k 2 −1 )( q m − q k ) q k 1 ( q k 1 − q n ) f 2 ( n,k ). (3.12)

对(3.11)式两边k从0到∞ 求和，得到

( q m 1 − q n )z( n )−( q m − q n 1 )z( n 1 )=0. (313)

由初始值

z( m 2 )= ( −1 ) m q −( m 1 2 ) ( q m 1 −1 ) q 2 −1 , (3.14)

得

s q ( n,m,2 )=z( n )= ( −1 ) m q −( m 1 2 ) n−m−2 ( 1− q m 1 ) [n−m]( 1− q n−m−1 ) . (3.15)

特别的，当m=0,1,2 ，可以得到

1=[ k 0 ],[ k ]=[ k 1 ], [ k ] 2 =[ k 1 ] q( q 1 )[ k 2 ], (3.16)

∑ k=0 n ( −1 ) k q ( k 1 2 )−n( k 1 ) [ n k ] h q ( k,2 ) = q n−2 [ n ][ n−1 ] ,n>1, (3.17)

∑ k=0 n ( −1 ) k q ( k 1 2 )−n( k 1 ) [ k ][ n k ] h q ( k,2 )=− q n−4 ( 1 q ) [ n−1 ][ n−2 ] ,n>2, (3.18)

∑ k=0 n ( −1 ) k q ( k 1 2 )−n( k 1 ) [ k ] 2 [ n k ] h q ( k,2 ) = ( 1 q )( − q 2n 1 − q 2n q n 1 q n ) ( 1−q ) q 6 [ n−1 ][ n−2 ][ n−3 ] , n>3. (3.19)

运用同样的方法，可以得到下列q-模拟恒等式

定理3.2 对于非负整数m,n 且n>m 2 ，有

s q ( n,m,3 )= ∑ k=0 n ( −1 ) k q ( k 1 2 )−n( k 1 ) [ n k ][ k m ] h q ( k,3 ) = ( −1 ) m 1 q −( m 1 2 ) 2n−2m−4 [ m 1 ][ m 2 ] [ n−m ][ n−m−1 ][ n−m−2 ] . (3.20)

特别的，当m=0,1,2 ，可以得到

∑ k=0 n ( −1 ) k q ( k 1 2 )−n( k 1 ) [ n k ] h q ( k,3 )=− q 2n−4 ( 1 q ) [ n ][ n−1 ][ n−2 ] ,n>3, (3.21)

∑ k=0 n ( −1 ) k q ( k 1 2 )−n( k 1 ) [ k ][ n k ] h q ( k,3 )= q 2n−7 ( 1 q )( 1 q q 2 ) [ n−1 ][ n−2 ][ n−3 ] ,n>4, (3.22)

∑ k=0 n ( −1 ) k q ( k 1 2 )−n( k 1 ) [ k ] 2 [ n k ] h q ( k,3 ) =− q 2n−10 ( 1 q ) ( 1 q q 2 ) 2 [ n ] [ n−1 ][ n−2 ][ n−3 ][ n−4 ] , n>5. (3.23)

4. 总结

对给定和式s( n )= ∑ k f( n,k ) b k ，其中f( n,k ) 和δ b k 均是q-超几何项，本文将abel引理与q-zeilberger算法相结合(称为q-abel-zeilberger算法)来得到s( n ) 满足的递推关系，进而证明或发现恒等式。特别的，对超调和数，我们得到了如下和式的q-模拟恒等式。

s( n,m,r )= ∑ k=0 n ( n k ) ( −1 ) k k m h( k,r ),r=1,2.

注意到该算法的适用性，未来可以进一步考虑其在q-无穷级数和其他q-非超几何和式等方面的应用。

参考文献