全空间上hypergenic函数的积分表示-凯发国际一触即发

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全空间上hypergenic函数的积分表示
integral representations for hypergenic functions in the whole space

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作者: 王清源：天津职业技术师范大学理学院，天津
关键词: ；；；；；

摘要: 本文首先借助hypergenic函数改进的柯西积分公式，呈现了hypergenic函数改进的柯西积分公式的另一种形式。接着，基于hypergenic函数与对偶的hypergenic函数两者之间的关系，我们推导出了对偶的hypergenic函数所对应的改进的柯西型积分公式。最后，进一步探讨并推导了关于(1 − n)-hypergenic函数的改进的积分表示。

abstract: in this article, with the help of the hypergenic function for the improved cauchy integral formula, we first give another form of the hypergenic function for the improved cauchy integral formula. then, on the basis of the relationship between hypergenic function and the dual hypergenic function, the dual hypergenic function for the improved cauchy integral formula is obtained. finally, the related results of a (1 − n)-hypergenic function for the improved integral representation are derived.

文章引用：王清源. 全空间上hypergenic函数的积分表示[j]. 理论数学, 2024, 14(10): 169-174.

1. 引言

clifford代数创立于上个世纪初，是一种可结合但不可交换的代数结构。clifford分析是复变函数理论向高维的推广，主要研究dirac算子的核函数。1991年，gilbert和murray [1]研究了调和分析中的clifford代数和dirac算子。2003年，eriksson [2]研究了k-hypermonogenic函数的相关性质，在物理学中，cauchy积分公式可以描述势函数的性质。2009年，eriksson和orelma [3]研究了在实clifford分析中的hypergenic函数的cauchy型积分公式。2010年，eriksson [4]研究了全空间上对偶的超正则函数及(1 − n)-超正则函数的积分表示。2013年，谢永红[5]等研究了复clifford分析中的k-hypermonogenic函数。2014年，谢永红[6]研究了clifford分析中几类函数的性质及其相关问题，同年研究了实clifford分析中hypergenic函数拟柯西型积分公式的相关性质。2016年，谢永红[7]等在clifford分析中研究了k-hypergenic函数的一些性质。2023年，柴晓珂[8]研究了hypergenic函数改进的柯西积分公式。在此工作基础之上，我们研究了全空间上hypergenic函数的柯西积分公式的另一种形式及对偶的hypergenic函数的改进的柯西型积分公式，推广了上半空间中hypergenic函数的积分公式的结果。借助对偶的hypergenic函数及(1 − n)-hypergenic函数的关系，推导了(1 − n)-hypergenic函数的积分表示，丰富了clifford分析中的积分理论，为研究电磁场、流体力学、量子力学等领域的物理现象提供了有力工具。

2. 预备知识

2.1. clifford代数 $c l_{n 1, 0} (r)$

设 $c l_{n 1, 0} (r)$ 是实clifford代数，其中n为正整数，其基元素是 $e_{0}, e_{1}, \dots, e_{n}; e_{0} e_{1}, e_{1} e_{2}, \dots, e_{n - 1} e_{n}, \dots; e_{0} \dots e_{n}$ 并满足当 $i \neq j$ 且 $i, j = 0, 1, \dots, n$ 时， $e_{i} e_{j} = - e_{j} e_{i}$ ；当 $j = 0, 1, \dots, n$ 时， $e_{j}^{2} = 1$ 。 $c l_{n 1, 0} (r)$ 中的任意元素b可以表示为 $b = \sum_{b} b_{b} e_{b}$ ，其中 $e_{b} = e_{β_{1}} e_{β_{2}} \dots e_{β_{h}}$ ， $b = {β_{1}, \dots, β_{h}} \subseteq {0, 1, \dots, n}$ 并且 $0 \leq β_{1} < β_{2} < \dots < β_{h} \leq n$ 。 $\forall b \in c l_{n 1, 0} (r)$ ，其模可定义为 $| b | = \sqrt{{\sum_{b} | b_{b} |}^{2}}$ ， $y = y_{0} e_{0} y_{1} e_{1} \dots y_{n} e_{n}$ 称为 $c l_{n 1, 0} (r)$ 中的向量，且 $y^{2} = {| y |}^{2}$ ， $y^{- 1} = \frac{y}{{| y |}^{2}} (y \neq 0)$ 。

2.2. 中的基本运算 $c l_{n 1, 0} (r)$

定义“ $'$ ”运算： $c l_{n 1, 0} (r) \to c l_{n 1, 0} (r)$ ， $e'_{i} = - e_{i} (i = 0, 1, \dots, n)$ ， $\forall a, b \in c l_{n 1, 0} (r)$ ， $(a b)' = a' b'$ 。

定义“ $λ$ ”运算： $c l_{n 1, 0} (r) \to c l_{n 1, 0} (r)$ ， ${\hat{e}}_{0} = - e_{0}, {\hat{e}}_{i} = e_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ ， $\forall a, b \in c l_{n 1, 0} (r)$ ， $\hat{a b} = \hat{a} \hat{b}$ 。

且有

$e_{0} a = \hat{a}' e_{0}, a' e_{0} = e_{0} \hat{a}, e_{0} a' = \hat{a} e_{0} .$

2.3. $c l_{n 1, 0} (r)$ 中的一种分解

任意元素 $b \in c l_{n 1, 0} (r)$ ，存在 $c, d \in c l_{n, 0} (r)$ ，可唯一地分解为 $b = c e_{0} d$ 。定义两个映射 $p_{0}, q_{0} : c l_{n 1, 0} (r) \to c l_{n, 0} (r)$ ，使得 $p_{0} b = c$ ， $q_{0} b = d$ ，其中c和d分别称为b的 $p_{0}$ 部和 $q_{0}$ 部。对 $\forall m, n \in c l_{n 1, 0} (r)$ ，有

$p_{0} (m n) = (p_{0} m) (p_{0} n) (q'_{0} m) (q_{0} n),$

$q_{0} (m n) = (p_{0}' m) (q_{0} n) (q_{0} m) (p_{0} n) = m' (q_{0} n) (q_{0} m) n$

2.4. 微分算子

设 $ω \subset r^{n 1}$ 是一个开集，定义在 $ω$ 中取值于 $c^{r}$ 代数空间的函数g可表示成 $g (x) = \sum_{b} g_{b} (x) e_{b}$ ，其中 $g_{b}$ 为实值函数。设 $f_{ω}^{(r)} = {g | g : ω \to c l_{n 1, 0} (r), g (x) = \sum_{b} g_{b} (x) e_{b}, g_{b} (x) \in c^{r} (ω), x \in ω}$

定义dirac算子：

$d_{l} g (x) = \sum_{i = 0}^{n} e_{i} \frac{\partial g (x)}{\partial x_{i}}$ ，

$d_{r} g (x) = \sum_{i = 0}^{n} \frac{\partial g (x)}{\partial x_{i}} e_{i}$ .

其中 $g \in f_{ω}^{(r)} (ω \subset r^{n 1} \ {x_{0} = 0})$ 。

可以定义修正的dirac算子：

$h_{k}^{l} g = d_{l} g - \frac{k}{x_{0}} q_{0} g$ ， $h_{k}^{r} g = d_{r} g - \frac{k}{x_{0}} q'_{0} g$ .

2.5. hypergenic函数的相关内容

定义1.5.1 [3]若函数 $g \in c^{1} (ω, c l_{n 1, 0} (r))$ ，且对 $\forall x \in ω (x_{0} \neq 0)$ 有 $h_{k}^{l} g = 0$ ，则称g是 $ω$ 上的左k-hypergenic函数，简称为k-hypergenic函数，(n − 1)-hypergenic函数简称为hypergenic函数。

定义1.5.2 [6]设函数 $g \in c^{1} (ω, c l_{n 1, 0} (r))$ ，若 $h_{n - 1}^{l} (g e_{0} e_{1} \dots e_{n}) = 0$ ，则称g是 $ω$ 上对偶的(n − 1)-hypergenic函数，简称为对偶的hypergenic函数。

定理1.5.1 [8] (hypergenic函数改进的cauchy型积分公式)设 $ω, u \subset r^{n 1}$ 中的区域，且满足 $\bar{ω} \subset u$ ， $\partial u$ 是足够光滑的，v为 $t \in \partial ω$ 处单位外法向量，若在 $ω$ 中 $h_{n - 1}^{l} g = 0$ ，则对于 $y \in ω$ 且 $\hat{y} \notin ω$ ，有

$g (y) = \frac{2^{n - 1} {| y_{0} |}^{n - 1}}{ω_{n 1}} \int_{\partial ω} \frac{{(t - y)}^{- 1} v (t) g (t) - {(\hat{t} - y)}^{- 1} \hat{v} (t) \hat{g} (t)}{{| y - t |}^{n - 1} {| y - \hat{t} |}^{n - 1}} d s_{t} .$

引理1.5.1 [6]对于 $\forall t \in r^{n 1}$ ， $r_{1} (y, t) = \frac{y_{0}^{n - 1} [{(t - y)}^{- 1} - {(\hat{t} - y)}^{- 1}]}{{| y - t |}^{n - 1} {| y - \hat{t} |}^{n - 1}}$ 是 $r^{n 1} \ {t, \hat{t}}$ 上关于y的左(n − 1)-hypergenic函数和右(n − 1)-hypergenic函数；对于 $\forall t \in r^{n 1}$ ， $r_{2} (y, t) = y_{0}^{n - 1} \frac{{(t - y)}^{- 1} {(t - \hat{y})}^{- 1}}{{| t - y |}^{n - 1} {| t - \hat{y} |}^{n - 1}} e_{0}$ 是 $r^{n 1} \ {t, \hat{t}}$ 上关于y的(n − 1)-hypergenic函数。

引理1.5.2 [6]若函数 $g \in c^{1} (ω, c l_{n 1, 0} (r))$ ，则g是 $ω$ 上的(n − 1)-hypergenic函数当且仅当 $g e_{0}$ 是 $ω$ 上对偶的(n − 1)-hypergenic函数。

引理1.5.3 [6]若函数 $g \in c^{1} (ω, c l_{n 1, 0} (r))$ ，则g是 $ω$ 上的(n − 1)-hypergenic函数当且仅当 $\frac{g e_{0}}{x_{0}^{n - 1}}$ 是 $ω$ 上的-(n − 1)-hypergenic函数，即 $\frac{g}{x_{0}^{n - 1}}$ 是 $ω$ 上对偶的-(n − 1)-hypergenic函数。

3. 主要结果

定理2.1 设 $ω, u$ 都为 $r^{n 1}$ 中的区域， $\partial ω$ 是足够光滑的，并且满足 $\bar{ω} \subset u$ ，v为 $t \in \partial ω$ 处外法向量且 $| v | = 1$ ，如果g是u上的hypergenic函数，当 $y \in ω$ 且 $\hat{y} \notin ω$ ，有

$g (y) = \frac{2^{n - 1}}{ω_{n 1}} \int_{\partial ω} {s_{1} (y, t) p_{0} [v (t) g (t)] s_{2} (y, t) q_{0} [v (t) g (t)]} d s_{t} .$

其中 $s_{1} (y, t) = \frac{{| y_{0} |}^{n - 1} [{(t - y)}^{- 1} - {(\hat{t} - y)}^{- 1}]}{{| y - t |}^{n - 1} {| y - \hat{t} |}^{n - 1}}$ 和 $s_{2} (y, t) = \frac{{| y_{0} |}^{n - 1} [{(t - y)}^{- 1} {(\hat{t} - y)}^{- 1}]}{{| y - t |}^{n - 1} {| y - \hat{t} |}^{n - 1}} e_{0}$ 是 $ω$ 上关于y的 hypergenic函数。

证明：由hypergenic函数改进的柯西积分公式，及

$v (t) g (t) = p_{0} (v (t) g (t)) e_{0} q_{0} (v (t) g (t))$

$\hat{v} (t) \hat{g} (t) = p_{0} (v (t) g (t)) - e_{0} q_{0} (v (t) g (t))$ ，

可推得

$\begin{matrix} g (y) = \frac{2^{n - 1} {| y_{0} |}^{n - 1}}{ω_{n 1}} \int_{\partial ω} \frac{{(t - y)}^{- 1} v (t) g (t) - {(\hat{t} - y)}^{- 1} \hat{v} (t) \hat{g} (t)}{{| y - t |}^{n - 1} {| y - \hat{t} |}^{n - 1}} d s_{t} \\ = \frac{2^{n - 1} {| y_{0} |}^{n - 1}}{ω_{n 1}} \int_{\partial ω} \frac{{(t - y)}^{- 1} {p_{0} [v (t) g (t)] e_{0} q_{0} [v (t) g (t)]}}{{| y - t |}^{n - 1} {| y - \hat{t} |}^{n - 1}} d s_{t} \\ - \frac{2^{n - 1} {| y_{0} |}^{n - 1}}{ω_{n 1}} \int_{\partial ω} \frac{{(\hat{t} - y)}^{- 1} {p_{0} [v (t) g (t)] - e_{0} q_{0} [v (t) g (t)]}}{{| y - t |}^{n - 1} {| y - \hat{t} |}^{n - 1}} d s_{t} \\ = \frac{2^{n - 1}}{ω_{n 1}} \int_{\partial ω} \frac{{| y_{0} |}^{n - 1} [{(t - y)}^{- 1} - {(\hat{t} - y)}^{- 1}] p_{0} [v (t) f (t)]}{{| y - t |}^{n - 1} {| y - \hat{t} |}^{n - 1}} d s_{t} \\ \frac{2^{n - 1}}{ω_{n 1}} \int_{\partial ω} \frac{{| y_{0} |}^{n - 1} [{(t - y)}^{- 1} {(\hat{t} - y)}^{- 1}] e_{0} q_{0} [v (t) f (t)]}{{| y - t |}^{n - 1} {| y - \hat{t} |}^{n - 1}} d s_{t} \end{matrix}$

令 $s_{1} (y, t) = \frac{{| y_{0} |}^{n - 1} [{(t - y)}^{- 1} - {(\hat{t} - y)}^{- 1}]}{{| y - t |}^{n - 1} {| y - \hat{t} |}^{n - 1}}$ ， $s_{2} (y, t) = \frac{{| y_{0} |}^{n - 1} [{(t - y)}^{- 1} {(\hat{t} - y)}^{- 1}]}{{| y - t |}^{n - 1} {| y - \hat{t} |}^{n - 1}} e_{0}$ ，

因为 $s_{1} (y, t) = r_{1} (y, t) (y_{0} > 0)$ ， $s_{1} (y, t) = {(- 1)}^{n - 1} r_{1} (y, t) (y_{0} < 0)$ ， $s_{2} (y, t) = r_{2} (y, t) (y_{0} > 0)$ ， $s_{2} (y, t) = {(- 1)}^{n - 1} r_{2} (y, t) (y_{0} < 0)$ ，及引理1.5.1，则 $s_{1} (y, t)$ 和 $s_{2} (y, t)$ 是 $ω$ 上关于y的hypergenic函数。

在定理2.1及hypergenic函数与对偶的hypergenic函数关系的基础之上给出了对偶的hypergenic函数改进的cauchy积分公式。

定理2.2 设 $ω, u$ 都为 $r^{n 1}$ 中的区域，且满足 $\bar{ω} \subset u$ ， $\partial ω$ 是足够光滑的，v为 $t \in \partial ω$ 处外法向量且 $| v | = 1$ ，若g是u上对偶的hypergenic函数，当 $y \in ω$ 且 $\hat{y} \notin ω$ ，有

$g (y) = \frac{2^{n - 1}}{ω_{n 1}} \int_{\partial ω} {s_{1} (y, t) e_{0} q_{0} [v (t) g (t)] s_{2} (y, t) e_{0} p_{0} [v (t) g (t)]} d s_{t}$

其中核 $s_{1} (y, t) e_{0}$ 和 $s_{2} (y, t) e_{0}$ 都是 $ω$ 上关于y的对偶的hypergenic函数。

证明：由g是u上对偶的hypergenic函数，借助引理1.5.2， $g e_{0}$ 是u上的hypergenic函数，利用定理2.1，

我们得到

$\begin{matrix} g (y) e_{0} = \frac{2^{n - 1}}{ω_{n 1}} \int_{\partial ω} {s_{1} (y, t) p_{0} [v (t) (g (t) e_{0})] s_{2} (y, t) q_{0} [v (t) (g (t) e_{0})]} d s_{t} \\ = \frac{2^{n - 1}}{ω_{n 1}} \int_{\partial ω} {s_{1} (y, t) p_{0} [(v (t) g (t)) e_{0}] s_{2} (y, t) q_{0} [(v (t) g (t)) e_{0}]} d s_{t} \end{matrix}$

由

$v (t) f (t) = p_{0} (v (t) f (t)) e_{0} q_{0} (v (t) f (t))$ ，

于是有

$\begin{matrix} g (y) e_{0} = \frac{2^{n - 1}}{ω_{n 1}} \int_{\partial ω} {s_{1} (y, t) p_{0} [(p_{0} [v (t) g (t)] e_{0} q_{0} [v (t) g (t)]) e_{0}] \\ s_{2} (y, t) q_{0} [(p_{0} [v (t) g (t)] e_{0} q_{0} [v (t) g (t)]) e_{0}]} d s_{t} . \end{matrix}$

又

$p_{0} [(p_{0} [v (t) f (t)] e_{0} q_{0} [v (t) f (t)]) e_{0}] = e_{0} q_{0} [v (t) f (t)] e_{0} = {q^{'}}_{0} [v (t) f (t)] e_{0}^{2} = {q^{'}}_{0} [v (t) f (t)]$

$q_{0} (p_{0} [v (t) f (t)] e_{0} q_{0} [v (t) f (t)] e_{0}) = q_{0} [e_{0} {p^{'}}_{0} [v (t) f (t)]] = {p^{'}}_{0} [v (t) f (t)]$ ，

所以

$g (y) e_{0} = \frac{2^{n - 1}}{ω_{n 1}} \int_{\partial ω} {s_{1} (y, t) {q^{'}}_{0} [v (t) g (t)] s_{2} (y, t) {p^{'}}_{0} [v (t) g (t)]} d s_{t} .$

上式两端右乘 $e_{0}$ ，有

$\begin{matrix} g (y) = \frac{2^{n - 1}}{ω_{n 1}} \int_{\partial ω} {s_{1} (y, t) {q^{'}}_{0} [v (t) g (t)] e_{0} s_{2} (y, t) {p^{'}}_{0} [v (t) g (t)] e_{0}} d s_{t} \\ = \frac{2^{n - 1}}{ω_{n 1}} \int_{\partial ω} {s_{1} (y, t) e_{0} q_{0} [v (t) g (t)] s_{2} (y, t) e_{0} p_{0} [v (t) g (t)]} d s_{t} . \end{matrix}$

由引理1.5.2及 $s_{1} (y, t)$ 和 $s_{2} (y, t)$ 是 $ω$ 上关于y的hypergenic函数，则核 $s_{1} (y, t) e_{0}$ 和 $s_{2} (y, t) e_{0}$ 是 $ω$ 上关于y的对偶的hypergenic函数。

利用定理2.2，我们可推导出(1 − n)-hypergenic函数的改进的cauchy积分公式。

定理2.3设 $ω, u$ 都为 $r^{n 1}$ 中的区域，且满足 $\bar{ω} \subset u$ ，v为 $t \in \partial ω$ 处外法向量且 $| v | = 1$ ，若g是u上(1 − n)-hypergenic函数，当 $y \in ω$ 且 $\hat{y} \notin ω$ ，有

$g (y) = \frac{2^{n - 1}}{ω_{n 1}} \int_{\partial ω} {β_{1} (y, t) q_{0} [v (t) g (t)] β_{2} (y, t) p_{0} [v (t) g (t)]} d s_{t},$

其中核 $β_{1} (y, t) = y_{0}^{n - 1} t_{0}^{1 - n} s_{1} (y, t) e_{0}$ 和 $β_{2} (y, t) = y_{0}^{n - 1} t_{0}^{1 - n} s_{2} (y, t) e_{0}$ 都是 $ω$ 上关于y的(1 − n)-hypergenic函数。

证明：由 $g (t)$ 是u上(1 − n)-hypergenic函数，利用引理1.5.3， $t_{0}^{n - 1} g (t)$ 是u上对偶的hypergenic函数，再由定理2.2，有

$y_{0}^{n - 1} g (y) = \frac{2^{n - 1}}{ω_{n 1}} \int_{\partial ω} {s_{1} (y, t) e_{0} q_{0} [v (t) (t_{0}^{n - 1} g (t))] s_{2} (y, t) e_{0} p_{0} [v (t) (t_{0}^{n - 1} g (t))]} d s_{t}$

上式两端同时除以 $y_{0}^{n - 1}$ ，有

$\begin{matrix} g (y) = \frac{2^{n - 1}}{ω_{n 1}} \int_{\partial ω} {t_{0}^{n - 1} y_{0}^{1 - n} s_{1} (y, t) e_{0} q_{0} [v (t) g (t)] t_{0}^{n - 1} y_{0}^{1 - n} s_{2} (y, t) e_{0} p_{0} [v (t) g (t)]} d s_{t} \\ = \frac{2^{n - 1}}{ω_{n 1}} \int_{\partial ω} {β_{1} (y, t) q_{0} [v (t) g (t)] β_{2} (y, t) p_{0} [v (t) g (t)]} d s_{t} \end{matrix}$

由引理1.5.3， $β_{1} (y, t) = t_{0}^{n - 1} y_{0}^{1 - n} s_{1} (y, t) e_{0}$ ， $β_{2} (y, t) = t_{0}^{n - 1} y_{0}^{1 - n} s_{2} (y, t) e_{0}$ 是 $ω$ 上关于y的(1 − n)-hypergenic函数。

参考文献

[1]	gilbert, j. and murray, m. (1991). clifford algebras and dirac operators in harmonic analysis. cambridge university press.
[2]	eriksson-bique, s. (2003). k–hypermonogenic functions. in: begehr, h.g.w., ed., progress in analysis, world scientific pub co inc, 337-348.
[3]	eriksson, s. and orelma, h. (2009) hyperbolic function theory in the clifford algebra cl_n_1,0. advances in applied clifford algebras, 19, 283-301.
[4]	eriksson, s. (2010) hyperbolic extensions of integral formulas. advances in applied clifford algebras, 20, 575-586.
[5]	xie, y., yang, h. and qiao, y. (2013) complex k-hypermonogenic functions in complex clifford analysis. complex variables and elliptic equations, 58, 1467-1479.
[6]	谢永红. clifford分析中几类函数的性质及其相关问题研究[d]: [博士学位论文]. 合肥: 中国科学技术大学, 2014.
[7]	xie, y., zhang, x. and tang, x. (2016) some properties of k-hypergenic functions in clifford analysis. complex variables and elliptic equations, 61, 1614-1626.
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