利用关联和类比诠释空间解析几何若干知识点-凯发国际一触即发

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利用关联和类比诠释空间解析几何若干知识点
interpreting some contents in spatial analytic geometry by carrying on the reasonable relation and comparing

doi: , , html, , 科研立项经费支持
作者: 幸冬梅：南昌大学数学与计算机学院，江西南昌
关键词: 空间解析几何；数学思维模式；关联；类比；教学方式；spatial analytic geometry； mathematics thinking modes； connection； analogy； teaching method

摘要: 本文对空间解析几何中一些较难理解的概念进行了诠释。利用visio、matlab进行图形绘制。讨论了空间中外积与平面定向的关系。解释了平面外的点与空间定向的关联：同一平面同侧的点的共性、异侧点的不同特征。通过图形的诠释空间曲面。融入联系的观点，进行课程知识纵向和横向类比，多角度、多侧面理解相关的知识，提升对知识的领悟。说明空间解析几何与高等代数相关知识点关系。简述了空间曲面的划分与重积分计算的关联性。

abstract: some difficult concepts in spatial analytic geometry are explained. draw some figures with visio and matlab. the relationship between cross product and plane orientation in space is discussed. the relationships between points outside a plane and spatial orientation are explained, for example, the commonness of points on the same side and the different characteristics of points on different sides. spatial surfaces are described by figures. from the standpoint of contact, we make use of a detailed and thorough analysis of its vertical and horizontal comparison, the excavation of the similarities and differences among contents in spatial analytic geometry, which lead to a good understand in the corresponding contents. this paper considers the contents of relationship between spatial analytic geometry and higher algebra. the link between the divisions of space surface and the calculation of multiple integrals is also briefly described.

文章引用：幸冬梅. 利用关联和类比诠释空间解析几何若干知识点[j]. 理论数学, 2024, 14(10): 226-236.

1. 引言

教学中有理、有序利用数学的思想方法[1]，融入联系的观点[2]，适当地对知识做纵向和横向类比，有助于解析几何课程的学习，也有助于大学数学与应用数学专业的三基课程(解析几何，数学分析和高等代数)的学习。解析几何课程的主要内容有：几何空间的线性结构和度量结构、空间的平面与直线、常见曲面、坐标变换、二次曲线方程的化简及其类型和性质[3] [4]。有些解析几何的知识点，以相应的实物或图形为媒介，便于学习和掌握。在教学中，融入现代教育技术，充分利用数学软件，利用matlab应用系统绘制相应的曲线、曲面[5]，展示直观图形。大学解析几何是高中平面解析几何的继续，也是后续的课程“微分几何”的基础。解析几何与高等代数、数学分析均有非常紧密的联系。

解析几何与高等代数的知识的关联性，体现在高等代数知识的渗透于解析几何中，亦表现于用高等代数的知识计算或处理解析几何课程中的问题。在解析几何的教学中，引导性地简述解析几何课程与高等代数知识的关联性，加强学生对于不同课程的联系性的了解与知识的巩固。

解析几何与数学分析的联系，主要在计算几何形体上的积分时对几何形体的分割。几何形体上的积分是一种统称，含有定积分，二重积分，三重积分，第一型曲线积分，第一型曲面积分[6]。计算几何形体上的积分时，需要利用“分割、近似、求和、取极限”的思想。分割几何形体，尤其是空间几何区域，有利于多重积分的学习与掌握。通过空间解析几何关于常见曲面的各种性质、特征的学习，更容易对几何形体的分割，从而便于将二重、三重积分转换为累次积分来计算。

本文的后续内容中，首先，从实物导入一些不好理解的概念，利用联系的观点，阐述相关联的知识；利用类比的方法，叙述课程内容的之间关系；利用横向对比的方法，说明三基课程联系的纽带。

2. 向量外积、平面定向和混合积的关联性

几何空间的线性结构与度量结构的内容中，向量的外积较难理解。通过实物的引入和空间中平面定向的说明，诠释向量的外积，使得外积的大小与方向的规定易于学习和掌握。

2.1. 力矩与向量外积的关联

我们运用联系的思维方式，利用具体的实物：辗子和石磨(见图1(a)，图1(b))，演化为力、力臂、力矩示意图(见图1(c)，图1(d)所示)，以及右手螺旋法则示意图(图1(d) ¹。然后通过力矩，引入外积的定义，说明外积是矢量，具有大小与方向。

(a) 辗子 (b) 石磨

figure 1. deduce of cross product

图1. 外积的演绎

在图1(c)中，右手仿射坐标系o-xyz中， $o a = r$ 为力臂， $a b$ 为力 $f$ ，力 $f$ 的作用点为a点， $a b$ 与 $f$ 的夹角为 $θ$ ， $m_{0} (f)$ 为力矩。 $| m_{0} (f) | = | f | * | o a | * \sin θ$ ， $m_{0} (f)$ 的方向与平面oxy的法向量 $n$ 相同。力矩 $m_{0} (f)$ 即为矢量 $f$ 与矢量 $o a = r$ 的外积。在图1(d)中， $m_{0}$ 表示力矩， $r$ 为力臂；母指指向与四指弯曲的方向构成右手螺旋法则；四指弯曲的方向亦表明了平行四边形 $▱ a b c d$ 的一个环形方向。在图1(d)和图1(c)中，力和矩心确定了唯一的平面，此平面的法线与力矩矢量的方向共线，对应于实物：辗子或石磨，它们绕着平面的法线旋转(图1(a)、图1(b))。在图1(d)和图1(c)中，力矩矢量的方向由右手螺旋法则确定：右手握拳，手指指向表示力矩转动方向，拇指指向为力矩矢量的方向。

两个非零向量的向量 $a, b$ ，其外积 $a \times b$ 是一个向量，外积的的大小是以 $a, b$ 为邻边的平等四边形的面积， $a \times b$ 垂直于向量 $a$ 与向量 $b$ ，且 $a, b, a \times b$ 满足右手螺旋法则，右手拇指的指向为 $a \times b$ 的方向；若 $a, b$ 中有一个为零向量，其外积为零向量，方向是任意的。

2.2. 向量外积的方向、平面定向与平行四边形的定向面积

在空间中讨论平面的方向，我们需要从空间的视觉讨论。在平面上展示空间几何体，不同的视角看到的几何体的轮廓不同。例如，高中阶段学习的立体几何中物体的三视图，即正视图、俯视图和侧视图，是空间的视觉不同得到的平面影像图。图1(d)中，四指弯曲的方向，也潜在地表明了从空间角度来观察平面，平面的一个方向即图(d)中的平行四边形abcd的一个环形方向 $a \to b \to c \to d \to a$ ，此时从 $m_{0}$ 的指向的区域观察，旋转方向为逆时针方向。因此，以右手拇指指向的方向为正方向，右手四指握拳可以转化为一个平行四边形的环形方向。据此，空间向量 $m_{0}$ 的方向与垂直于该向量的平面上的平行四边形abcd的环形方向存在一一对应关系。

由于平面可以将空间分成两个区域，平面的方向也是从某个区域(空间中两个区域中的一个)的角度来看待，相当于从与该平面垂直、始点在此平面上的向量的方向来观察。一般地，如图2，若用 $e$ 确认为正的方向，亦同时体现为平行四边形的环形方向(图2(a)着黄色的带箭头的曲线段)，则对以 $a, b$ 为边且指定从 $a$ 到 $b$ 的定向平行四边形的面积可确定其正号：若平行四边形的定向(即平行四边形的环形方向)和平面n的定向相同，则说其定向面积是正的(见图2(a)) [3]；若平行四边形的定向(即平行四边形的环形方向)和平面n的正方向相反，则说其定向面积是负的(见图2(b)) [3]。以 $a, b$ 为边的平行四边形的定向面积记为 $(a, b)$ 。因此，若 $a \times b$ 和 $e$ 方向一致时(见图2(a))，则有 $(a, b) > 0$ ；若 $a \times b$ 和 $e$ 方向相反时(见图2(b))，则有 $(a, b) < 0$ 。

(a) (b)

figure 2. the orientation of plane and the direction of cross product

图2. 平面的定向与外积的方向

2.3. 混合积与行列式性质的关联性

结论1 [3]在仿射坐标系 $[o; e_{1}, e_{2}, e_{3}]$ 中，基向量的混合积为 $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ 。若 $a = {(a_{1}, a_{2}, a_{3})}^{t}$ ， $b = {(b_{1}, b_{2}, b_{3})}^{t}$ ， $c = {(c_{1}, c_{2}, c_{3})}^{t}$ ，则

$\frac{(a, b, c)}{(e_{1}, e_{2}, e_{3})} = | \begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix} |$ . (1)

结论2 [3]在右手直角标架 $[o; i, j, k]$ 中，若 $a = {(a_{1}, a_{2}, a_{3})}^{t}$ ， $b = {(b_{1}, b_{2}, b_{3})}^{t}$ ， $c = {(c_{1}, c_{2}, c_{3})}^{t}$ ，则

$(a, b, c) = | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} | \equiv | \begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix} |$ . (2)

式(2)指出了3阶行列式的几何意义。

由混合积的多线性性质可以得到3阶行列式的一些重要性质，这些性质对于n阶行列式也都成立。以下列出相应的行列式的性质：

1) 转置不变，即(2)成立，从而关于行的性质对于列也成立。

2) 换行(列)变号： $(a, b, c) = - (b, a, c) = - (c, b, a) = - (a, c, b)$ 。

3) 提取公因子： $(λ a, b, c) = (a, λ b, c) = (a, b, λ c) = λ (a, b, c)$ 。

$\Rightarrow$ 两行(列)成比例为零： $(a, λ a, c) = (a, b, λ a) = (a, b, λ b) = 0$ 。

4) 拆行法： $(a b, c, d) = (a, c, d) (b, c, d)$ 。

5) 将某一行(列)的 $λ$ 倍加到另一行(列)，值不变：

$(a, b λ a, c) = (a, b, c λ a) = (a, b, c) = (a, b, c λ b)$ .

3. 点、平面与空间之间的关联性

在空间放置一个平面，可以将空间分成三个部分，分别是位于平面两侧的点与位于平面上的点。空间中不在平面中的两个点，可能位于平面的同侧，亦可能分别位于平面的两侧(即位于平面的异侧)，同侧点的共性可以以有向距离(亦称为离差)彰显。

3.1. 同侧点的共性与异侧点的差异

平面的普通方程是三元一次方程，平面同侧的点的坐标代入平面方程的左侧同号(即均为正数或均为负数)，异侧的点的坐标代入平面方程左侧为异号。

例1 异侧情况

如图3所示。在仿射坐标系中，设点 $m_{1} {(x_{1}, y_{1}, z_{1})}^{t}$ 与 $m_{2} {(x_{2}, y_{2}, z_{2})}^{t}$ 都不在平面 $π : f (x, y, z) = a x b y c z d = 0$ 上，则 $m_{1} {(x_{1}, y_{1}, z_{1})}^{t}$ 与 $m_{2} {(x_{2}, y_{2}, z_{2})}^{t}$ 在平面 $π$ 的异侧的充分必要条件是： $f_{1} = a x_{1} b y_{1} c z_{1} d$ 与 $f_{2} = a x_{2} b y_{2} c z_{2} d$ 异号[3]。

figure 3. $m_{1}$ and $m_{2}$ in opposite sides’ space of plane $π$ , respectively

图3. $m_{1}$ 、 $m_{2}$ 在平面 $π$ 的异侧情况

figure 4. $m_{1}$ and $m_{2}$ in the same sides’ space of plane $π$

图4. $m_{1}$ 、 $m_{2}$ 在平面 $π$ 的同侧情况

证明：在仿射标架 $[o; e_{1}, e_{2}, e_{3}]$ 中，点 $m {(x, y, z)}^{t}$ 是线段 $m_{1} m_{2}$ 上任意一点，则

$m_{1} m = t m_{1} m_{2}, 0 \leq t \leq 1$ ，

于是得

${\begin{cases} x = x_{1} t (x_{2} - x_{1}), \\ y = y_{1} t (y_{2} - y_{1}), \\ z = z_{1} t (z_{2} - z_{1}) . \end{cases}$ (3)

设线段 $m_{1} m_{2}$ 与平面 $π : f (x, y, z) = a x b y c z d = 0$ 相交于点 $m_{0} {(x_{0}, y_{0}, z_{0})}^{t}$ ，则 $m_{0} \in π$ ，因此有 $f (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = a x_{0} b y_{0} c z_{0} d = 0$ 。依据(3)式，存在 $t_{0}$ ： $0 < t_{0} < 1$ ，使得

${\begin{cases} x_{0} = x_{1} t_{0} (x_{2} - x_{1}), \\ y_{0} = y_{1} t_{0} (y_{2} - y_{1}), \\ z_{0} = z_{1} t_{0} (z_{2} - z_{1}) . \end{cases}$

且

$\begin{array}{l} a x_{0} b y_{0} c z_{0} d \\ = (1 - t_{0}) * (a x_{1} b y_{1} c z_{1} d) t_{0} * (a x_{2} b y_{2} c z_{2} d) \\ = (1 - t_{0}) * f (x_{1}, y_{1}, z_{1}) t_{0} * f (x_{2}, y_{2}, z_{2}) \\ = 0 \end{array}$

注意到

$(1 - t_{0}) * f (x_{1}, y_{1}, z_{1}) t_{0} * f (x_{2}, y_{2}, z_{2}) = 0$ $\underset{0 < t < 1}{\Leftrightarrow}$ $f (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ 与 $f (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ 异号； $m_{1} {(x_{1}, y_{1}, z_{1})}^{t}$ 与 $m_{2} {(x_{2}, y_{2}, z_{2})}^{t}$ 在平面 $π : f (x, y, z) = a x b y c z d = 0$ 的异侧 $\Leftrightarrow$ 线段 $m_{1} m_{2}$ 与平面 $π : f (x, y, z) = a x b y c z d = 0$ 有唯一的交点。

故 $m_{1} {(x_{1}, y_{1}, z_{1})}^{t}$ 与 $m_{2} {(x_{2}, y_{2}, z_{2})}^{t}$ 在平面 $π$ 的异侧的充分必要条件是：

$f_{1} = a x_{1} b y_{1} c z_{1} d$ 与 $f_{2} = a x_{2} b y_{2} c z_{2} d$ 异号。

例2 同侧情况

如图4所示。在仿射坐标系中，设点 $m_{1} {(x_{1}, y_{1}, z_{1})}^{t}$ 与 $m_{2} {(x_{2}, y_{2}, z_{2})}^{t}$ 都不在平面 $π : f (x, y, z) = a x b y c z d = 0$ 上，且 $m_{1} \neq m_{2}$ 。则 $m_{1} {(x_{1}, y_{1}, z_{1})}^{t}$ 与 $m_{2} {(x_{2}, y_{2}, z_{2})}^{t}$ 在平面 $π$ 的同侧的充分必要条件是： $f_{1} = a x_{1} b y_{1} c z_{1} d$ 与 $f_{2} = a x_{2} b y_{2} c z_{2} d$ 同号[3]。

证明：此结论的证明过程类似于前一例子的证明过程，此处省略。

3.2. 平面定向、离差与有向距离

分析平面定向与有向距离，有助于对相关知识的理解与掌握。下面我们从两个角度诠释离差。

离差含义诠释_1：

在直角标架中， $n$ 为平面 $π$ 的一个法向量， $π$ 的方程为 $a x b y c z d = 0$ ，取 $n = {(a, b, c)}^{t}$ ，如图5所示。每个平面 $π$ 有两个单位法向量。例如其中一个是 $n^{0}$ ，另一个就是 $- n^{0}$ ，这两个中每一个向量均为平面 $π$ 的一个定向(orientation) [3]。取定平面 $π$ 的一个单位法向量 $n^{0}$ 为正向，就说指定了 $π$ 的一个定向 $n^{0}$ 。指定了定向的平面叫做定向平面(oriented plane)。平面 $π$ 把空间一分为二， $n^{0}$ 所指的那一侧称为平面 $π$ 的正侧，另一侧称为 $π$ 的负侧。

平面 $π$ 外的一点m向平面作垂线段 $m_{0} m$ ，垂足为 $m_{0}$ ，如图5所示。设 $m_{0} m = δ n^{0}$ ，则

$n^{0} \cdot m_{0} m = π_{n^{0}} m_{0} m = δ$ ， (4)

其中 $δ$ 为点m到平面 $π$ 的离差，亦记为 $δ (m)$ 。

在图5中，若 $p_{0} p_{1} = δ_{1} n^{0}$ ，则 $δ_{1}$ 是点 $p_{1}$ 到平面 $π$ 的离差，显然 $δ_{1} > 0$ 。若 $p_{02} p_{2} = δ_{2} n^{0}$ ，则 $δ_{2}$ 是点 $p_{2}$ 到平面 $π$ 的离差，显然 $δ_{2} < 0$ 。

由(4)式易知，当改变平面 $π$ 的定向时，点m到平面 $π$ 的离差 $δ$ 变成 $- δ$ 。从这个意义上说，离差是点m到平面 $π$ 的有向距离。

离差含义诠释_2：

figure 5. $p_{1}$ and $p_{2}$ in opposite sides’ space of plane $π$ , respectively; $m$ and $p_{1}$ in the same side’s space of plane $π$

图5. $p_{1}$ 、 $p_{2}$ 在平面 $π$ 的异侧， $m$ 、 $p_{1}$ 在平面 $π$ 同侧

平面 $π$ 外的一点m向平面作垂线段 $m_{0} m$ ，垂足为 $m_{0}$ 。在直角标架中，点 $m_{0}$ 和点m坐标分别为 $m_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ， $m (x, y, z)$ ， $π$ 的方程为 $a x b y c z d = 0$ ， $n = {(a, b, c)}^{t}$ 为平面 $π$ 的一个法向量，如右图6所示。设 $m_{0} m = δ (m) * n^{0} ≜ δ n^{0}$ ，则

由式(2)，我们得到

$\begin{matrix} δ = δ n^{0} \cdot n^{0} = m_{0} m \cdot n^{0} = (o m - o m_{0}) \cdot n^{0} \\ = ((x, y, z) - (x_{0}, y_{0}, z_{0})) \cdot n^{0} \\ = \frac{(a x b y c z) - (a x_{0} b y_{0} c z_{0})}{\sqrt{a^{2} b^{2} c^{2}}} \\ = \frac{(a x b y c z) d}{\sqrt{a^{2} b^{2} c^{2}}} \\ = \frac{a x b y c z d}{\sqrt{a^{2} b^{2} c^{2}}} \end{matrix}$

(a) 同向 (b) 反向

figure 6. $m_{0} m$ in the same or opposite direction of $n$

图6. $m_{0} m$ 与 $n$ 同向或反向

因此

m位于 $π$ 的正侧 $\Leftrightarrow$ $δ (m) > 0$ ；(见图1(a))
m在 $π$ 上(此时m与 $m_{0}$ )重合 $\Leftrightarrow$ $δ (m) = 0$ ；
m位于 $π$ 的负侧 $\Leftrightarrow$ $δ (m) < 0$ 。(见图1(b))

将 $δ (m) ≜ δ$ 视为定义在集合 $ℝ^{3} = {空 � � 集}$ 上的函数，如果取 $n = {a, b, c}$ ，上面的陈述就是

${π 正 � 的 �} = {m \in r^{3} | δ (m) > 0} = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | a x b y c z d > 0}$ ；

${π 上的 �} = {m \in r^{3} | δ (m) = 0} = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | a x b y c z d = 0}$ ；

${π � � 的 �} = {m \in r^{3} | δ (m) < 0} = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | a x b y c z d < 0}$ 。

4. 曲面与积分的关联性

空间曲面如果用直观图形显示出来，有利于加深对曲面的空间形状的记忆，图形的绘制可以借助matlab应用系统完成[5]。

4.1. 空间曲面形状与截面分割

图7中，我们给出了单叶双曲面、双叶双曲面，绘制了双曲抛物面与平面，同时绘制了相应的相交曲线。双曲抛物面又称为马鞍面，马鞍的实体图形，如图7(e)与图7(f)所示图7(e)，图7(f)来源于网络)。通过用平面横截曲面，我们能够直观了解平面与曲面的交线的形状(见图7(c)~(f))。

(a) 单叶双曲面 (b) 双叶双曲面

(e) 马鞍的实体图形1 (f) 马鞍的实体图形2

figure 7. several quadratic surfaces

图7. 几个二次曲面

4.2. 平移方法构造双曲抛物面

二次曲面中，双曲抛物面(即马鞍面)较难理解。双曲抛物面(5)与 $z = 0$ 相交于两条相交的直线，与平面 $z = h (h \neq 0)$ 相交于一条双曲线，如图8所示。

例3 双曲抛物面(5)可以通过一条主抛物线 $l_{1}$ (见式(7))的顶点沿另一抛物线 $l_{2}$ (见式(6))平行移动得到[3] [4]。

$\frac{x^{2}}{p} - \frac{y^{2}}{q} = 2 z$ ， $(p, q > 0)$ . (5)

figure 8. hyperbolic paraboloid

图8. 双曲抛物面

即当平行移动抛物线 $l_{1} : {\begin{cases} y^{2} = - 2 q z \\ x = 0 \end{cases}$ ，使它的顶点沿抛物线 $l_{2} : {\begin{cases} x^{2} = 2 p z \\ y = 0 \end{cases}$ 移动时，得到一个曲面，记为σ。容易证明，曲面σ便是马鞍面(5)。

证明点 $m {(x, y, z)}^{t}$ 在曲面σ(此轨迹)上的充分必要条件是，m在以抛物线

$l_{2} : {\begin{cases} x^{2} = 2 p z \\ y = 0 \end{cases}$ (6)

上的一个点 $m_{0} {(x_{0}, y_{0}, z_{0})}^{t}$ 为顶点且轴平行于z轴，形状、开口与

$l_{1} : {\begin{cases} y^{2} = - 2 q z \\ x = 0 \end{cases}$ (7)

一样的抛物线上，即有

${\begin{cases} \begin{array}{l} x_{0}^{2} = 2 p z_{0} \\ y_{0} = 0 \end{array}} \Rightarrow m_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) (y_{0} = 0) \in � 物 � l_{2} : {\begin{cases} x^{2} = 2 p z \\ y = 0 \end{cases} : \\ \begin{array}{l} y^{2} = - 2 q (z - z_{0}) \\ x = x_{0} \Rightarrow 此平面 ∥ 坐 � 平面 y o z \end{array}} 此 � 物 � 的 � � � m_{0}, � 平行于 z � \end{cases}$

消去 $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ ，得到 $y^{2} = - 2 q (z - \frac{x^{2}}{2 p})$

即 $\frac{x^{2}}{p} - \frac{y^{2}}{q} = 2 z$ 。

4.3. 空间几何体与多重积分的计算

计算不同几何形体上的重积分时，很多情况需要分析和截割具体的几何形体，将重积分的计算转化为计算累次积分。分析和总结不同几何体上积分的相同点和不同点，学好重积分。对几何形体的分割是学习重积分时较为重要的处理方法。

对于常见的空间几何体，如椭球面、马鞍面、抛物面时，一般均会学习其等高线。等高线是平面 $z = h$ (h为某个实数)与相应曲面相交曲线在坐标平面 $z = 0$ 上的俯视图。当用平面 $z = h$ (h为某个实数)截割几何体，此时交线在 $z = 0$ 的投影即为相应的等高线，不同h对应的平面 $z = h$ 截割几何体，可以得到不同的相交曲线。在图7(c)、图7(d)与图9中，我们对马鞍面、抛物面进行了平面截割，并绘制了截割曲线。

(a) 抛物面与平面相交或不相交 (b) 抛物面与平面的交线

figure 9. paraboloid and cutting plane

图9. 抛物面与截平面

4.4. 平面截割与三重积分计算示例

投影法是数学思想方法中的化归思想在积分学中的直接运用，也是微元分析法的本质规律在公式化方法中的彰显[7]。具体来说，计算三重积分时，积分区域是一个空间区域(记为区域ω)。若考虑将区域进行分割，常用的方法有“先二后一”或“先一后二”方法[7] [8]。“先二后一”方法，是指在计算三重积分时，先计算一个二重积分，再计算一个定积分，亦是将截面法应用于三重积分计算的方法[7]。具体处理“先二后一”时，即将区域ω投影到某一个坐标轴，如z轴上，确定z变量的范围，然后考虑 $x, y$ 两个变量的取值范围。 $x, y$ 的取值范围的考虑，我们相当于用与坐标平面xoy平行的平面 $z = h$ 对区域ω进行切割，若相交曲线是封闭的曲线，则得到的相交曲线在 $z = 0$ 上的投影的内部(含边界)即为 $x, y$ 的取值区域。

例4 计算积分 $\underset{ω}{∭} 2 z^{2} d x d y d z$ ，其中ω是由椭球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}} \frac{y^{2}}{b^{2}} \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$ 所围成的空间闭区域。

解我们利用先二后一的方法，考虑用平行于坐标平面xoy的平面去截对ω，得到不同的椭圆，从而确定二重积分的积分区域(椭圆区域)，其中

$ω = {(x, y, z) | - c \leq z \leq c, \frac{x^{2}}{a^{2}} \frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1 - \frac{z^{2}}{c^{2}}}$ ，记 $d_{z} = {(x, y) | \frac{x^{2}}{a^{2}} \frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1 - \frac{z^{2}}{c^{2}}}$ 。则 $\underset{ω}{∭} 2 z^{2} d x d y d z = \int_{- c}^{c} 2 z^{2} d z \iint_{d_{z}} d x d y$ 。

5. 结论

我们从向量空间中不易理解的外积的方向、平面定向和向量混合积着手，接着讨论了在平面同侧的点的共性与异侧点的相异性，演绎了类比方法在空间解析几何教学中的应用。数学思维、科学的思维方式以及方法论在解析几何教学中展现出来，阐释了解析几何与高等代数、数学分析相关知识的融合。从教学经验中我们体会到，在大学数学的教育中，新知识、新理论的传授非常重要，然而新的知识点传授结束前，进行内容的总结和归纳亦是非常重要的。将相关的内容进行融合，进行内容的类比，分析它们的关联性。通过展示知识的一体性，通常能够收到事半功倍的效果。这种从全局的角度考虑问题，亦能提升思维，磨练智力，加深学生的综合素质的培养。

基金项目

本文受南昌大学教改基金(ncujglx-2020-166- 66)资助。

notes

¹图1中的图片来自网络。

参考文献

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